电网频率和谐波测算的方法

摘　要：提出一种测量电网实际频率的新方法，其特点是： 设定一个接近被测频率的假定值，按此进行采样，所获得数据序列经处理后，可较准确地测算出实际频率值。介绍一种电网谐波的近似算法。与离散Fourier变换(DFT)不同的是，在非同步采样时，该算法采用的旋转因子的频率能始终与第k次谐波的频率一致，从而可有效地消除采样不同步引起的误差。这些方法在PC卡式仪器上实现，并利用仿真信号进行了验证。结果表明，上述方法可有效地改进电网频率和谐波的测量准确度，具有工程应用价值。
关键词： 电网频率； 电网谐波； 同步采样； 测量

New method for measuring actual
frequency and harmonic contents of power systems

CHEN Jun　ZHAO Wei　 CHU Renxin
(Department of Electrical Engineering,Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract：A novel method for measuring the actual power frequency is described. This method assumes that the approximate frequency of the measured signal is known and the actual frequency can be deduced from sampled data. An algorithm for analyzing the approximate power harmonics is also presented. The algorithm differs from discrete Fourier transform (DFT), in that, when sampling is a synchronous, the frequency of the factor in the algorithm is always coincident with the k^th harmonic, so the error caused by asynchronous sampling can be effectively reduced. The algorithm has been tested on a PC-card type virtual instrument. The simulated results show that the proposed method and the approximate algorithm can be readily put into practice.
Key wordspower frequency; power harmonics; synchronous sampling; measurement▲：

　　在工程上，对电网实际频率的准确测定具有重要意义。例如，为治理电网谐波，就需要先测算出电网电压的基波频率及各次谐波。提出一种测量频率的新方法，其特点是： 在预先知道被测周期信号频率大致范围的前提下，设定一个被测频率的假定值，它与被测频率十分接近，之后，便可由按被测频率假定值获取的一组采样数据测算出它的实际频率。电网正常运行时，其实际基波频率与额定工频偏差很小，故该方法很适合于电网基波频率的测量。
　　分析周期信号往往需要整周期同步采样，以避免产生泄漏误差。若采用DFT分析其中的谐波，当采样不同步时，分析的结果可能会有很大的误差
^［1，2］。基于上述提出的电网基波频率测量方法，作者又推导出一种分析电网谐波的近似算法。该算法与DFT的不同之处在于更换了旋转因子，但采样数据序列仍维持不变，其结果，当采样不同步时，所用旋转因子e^-jω_knT_s的频率始终与k次谐波的频率一致，即可确保带通滤波器的中心频率与k次谐波的频率相同，因此可有效消除采样不同步引起的误差，使测算结果能达到一般工程要求的测量准确度。
　　限于缺少高准确度的信号源和测量仪器，作者利用计算机对所提出的方法与算法进行了仿真。

1　测算电网频率的新方法

　　考虑被测周期信号x(t)不含谐波情况下如何由一组采样数据计算出它的实际频率f₀。 假设x(t)为正弦波，即x(t)＝sin(2πf₀t+θ)。 如果已知被测频率f₀约等于某个确定的频率f，即f₀=f+Δf， |Δf|f₀， 令

T＝1/f，  (1)
　　(2)
　　(3)

计算可得

　　(4)
　　(5)

其中 δ＝πΔfT。 由式(4)， 式(5)可得

　　(6)

其中 θ为对应积分区间中间(即t＝0)处被测信号的相位。将式(2)， 式(3)离散化，得到：

　　(7)
　　(8)

上两式中， NT_s＝2T。 若采样频率足够高， R′与R接近， I′与I接近。于是，可由式(7)、 式(8)算出

　　(9)

　　连续采样M个周期(此处周期为T，而非被测信号的实际周期)，且MT＜0.5/|Δf|， 这样可以保证第M个周期中间处的相位θ_M与第1个周期中间处的相位θ₁之差小于π. 由式(9) 计算出θ₁和θ_M，则可得出被测信号的频率为

　　(10)

　　上述分析中未考虑被测信号含谐波的情况。其实，由于f约等于f₀，也就有采样窗口接近于被测信号周期的整数倍，因此谐波成份对式(2)和式(3)积分的结果影响不大，所以在被测信号含有谐波时，仍可用式(10)比较准确地测算出被测信号的基波频率f₀^［3］.如果需要进一步提高准确度，也可先滤除被测信号中的谐波后，再利用式(10)计算f₀.
　　为验证上述方法的正确性，用该方法测算了两组由计算机产生的仿真周期信号的频率，测算结果见表1。对于含谐波的一组，假设条件为： 被测信号含有2至19次谐波，其幅值分别是基波的1/2， 1/3， …， 1/19； 基波和谐波的初相位按随机的原则产生； 采样频率为6.4　kHz， M＝8.

表1　仿真周期信号频率的测算结果

从表1可以看出，即使在谐波含量很大的情况下，按所提出方法测算出的频率仍是比较准确的。如果没有谐波的影响，相对误差还能小一个数量级。此外，由于所采用方法中存在积分环节，可以有效地抑制噪声干扰。

2　一种分析谐波的近似算法

　　分析谐波最常用的算法是DFT或快速Fourier变换(FFT)，两者的原理一致。根据数字信号处理原理可知， DFT交换的作用相当于将采样点数为N的序列通过N个并行的滤波器，各滤波器的输出即为DFT变换的结果，各滤波器的中心频率分别为k/(NT_s)(其中T_s为采样周期； k＝1，2，…，N)。对于周期信号，在满足同步采样的情况下，第k次谐波的频率与其中一个滤波器的中心频率是重合的。但是，当采样不同步时，第k次谐波的频率与该滤波器的中心频率会有一定偏差，这时第k次谐波通过滤波器就会有衰减。这个衰减会随着失步程度的增加而迅速增加。此外，采样不同步时，其他次谐波和基波的频率不对应滤波器的零点，因此谐波不可能被完全滤除，这又会造成混叠。在实际测量中，一般很难做到采样的完全同步，而只能是接近于同步。此时，若直接用DFT或FFT分析谐波，无疑会产生误差，且这个误差的大小决定于失步程度和滤波器的特性。[FS:PAGE]
　　设采样窗口宽度为T_W， f_W＝1/T_W，窗函数为w(t)，对被测函数x(t)加窗后做DFT变换，则在频谱中kf_w处的值为

　　(11)

由以上讨论可知，采样不同步时，用DFT或FFT分析谐波可能会产生较大的误差； 而同步采样在很多场合又往往不易实现。提出一种新的近似的谐波分析算法，采用它，可在固定采样频率的条件下较准确地算出基波和各整数次谐波。具体是利用式

　　(12)

来计算谐波。式(12)中， ω_k为第k次谐波的角频率。本算法的实质为当采样不同步时，因子e^-jω_knT_s的频率始终与k次谐波的频率一致，从而能保证带通滤波器的中心频率与k次谐波的频率一致，因此可有效地消除不同步引起的误差。为计算e^-jω_knT_s，需要知道被测信号的基波频率，这可采用本文第1节所提出的频率测量新方法测出。由于采样不同步时不能保证整周期采样，会产生截断误差，选择Hanning窗乘以因数2为窗函数来有效地减少截断误差(乘以因数2的目的是使带通滤波器中心频率处的幅值为1)。相对于DFT， 新算法在信号频率变化时需要重新计算e^-jω_knT_s这一项，其他计算量与DFT相同，因此总计算量不大。采用新算法时，仍希望采样尽量接近整周期，以减小截断误差的影响。
　　与DFT相比较，该算法在改换旋转因子项为e^-jω_knT_s的同时，仍利用了原有的采样序列x′(n)。 这种非“原配”的组合决定了此法是一种近似算法，存在方法误差。
　　为验证上述算法是否有实用价值，对仿真信号进行了测量和分析。给定被测信号的基波频率为49.9Hz； 除基波外，被测信号还含有11， 12， 23， 25， 35和37次谐波，它们的幅值A和初相位?φ见表2。 采样参数为采样频率6.4kHz，样本数1024点。这样，对于50Hz的信号，正好可以采样8个周期，每个周期可采128点。测量出的频率为49.90054Hz， 其他分析结果见表2，为与DFT比较，表2中同时给出了直接用DFT分析得到的结果。
2　含谐波仿真信号的测量及分析结果

从表2可知，直接用DFT测算所得结果的误差较大； 而采用新提出的方法测算出的结果与实际值则十分接近，误差远小于国家标准GB/T 14549-93中规定的A级谐波测量仪的允许误差值。

3　小　结

　　采用新提出的方法，可以按如下步骤测量电网谐波：
　　1) 按固定采样频率采样M个周期的信号； M的大小应适中，太小不能保证频域分辨率，太大会无谓增大计算量。
　　2) 用所提出的频率测量新方法测量出电网的基波频率。
　　3) 知道电网基波频率后，就可按所提出的分析谐波的近似算法计算出电网信号中基波和各次谐波的幅值与频率。
　　由前面的讨论与分析可知，采用本文提出的频率测量方法及谐波的近似算法，可有效地改进电网频率和谐波的测量准确度。这表明，这些方法具有实际的工程应用价值。■